Modul

Modul Pengembangan Bahan Ajar Materi Eksponen kelas X untuk SMA/SMK Kurikulum 2013.

A. Pangkat Bulat Positif

1. Pengertian Pangkat Bulat Positif

Pengertian bilangan berpangkat dengan pangkat bilangan bulat positif adalah sebagai berikut.

Apabila terdapat bilangan real a dan bilangan positif n, definisi bilangan berpangkat bulat positif a pangkat n (ditulis an) adalah perkalian berulang sebanyak n faktor dari bilangan real a. Dalam notasi matematika, ditulis sebagai berikut.

(an=a × a × a × … × a), dimana a sebagai n faktor

Pada bilangan berpangkat ana disebut bilangan pokok (dasar) dan n disebut pangkat atau eksponen. Jika n = 1 maka a1 = a.

2. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

Jika a dan b adalah bilangan real, sedangkan m dan n bilangan bulat positif, berlaku sifat-sifat berikut.

  • a^m . a^n = a^m+n
  • a^m/a^n = a^m-n
  • (a^m)^n = a^mn
  • (a^m . b^n)^p = a^mp . b^np
  • (a^m/a^n)^p = a^mp/a^np

Berikut ini adalah bukti dari sifat-sifat pangkat bulat positif.

1. Sifat a : a^m . a^n = a^m+n

Bukti :

Sebagai gambaran, coba perhatikan perkalian bilangan pangkat berikut.

2^3 x 2^4 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2 x 2)

= (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2), sebanyak 7 n faktor

= 2^7

= 2^3+4

Berdasarkan pengertian bilangan berpangkat maka,

a^m = a × a × a × … × a, sebanyak n faktor ; a= a × a × a × … × a, sebanyak n faktor

Oleh karena itu,

a^m x a^n = (a × a × a × … × a) x (a × a × a × … × a)

= a x a x a x … x 2 x 2 x 2 x 2 … x 2, sebanyak (m+n) faktor

am+n …………………………………………………………………………….. (terbukti)

Contoh soal!

1. Nyatakan bentuk-bentuk berikut sehingga dapat diketahui pangkat masing-masing.

a. (2b)b. (4ab5)4

Penyelesaian :

a. (2b)4 = 21×4 b1×4

b. (4ab5)= 41×3 a2×3 b5×3 = 43 ab15

B. Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif

1. Pangkat Nol

Pada pembahasan sebelumnya, kamu telah memahami sifat bilangan berpangkat, seperti am/an = am-n . Dengan menggunakan sifat itu, coba kalian pahami contoh berikut.

Contoh Soal!

Tentukan nilai pembagian dari 32 : 32 .

Penyelesaian :

Menurut sifat pangkat bulat positif bahwa am/an = am-n , m > n dan a tidak sama dengan 0 maka diperoleh, 32 : 32 = 32/32 = 32-2 = 30 . Di pihak lain, dapat kalian perhatikan bahwa 32/32 = 3×3/3×3 = 9/9 = 1. Berarti, 30 = 1.

Dengan memahami contoh-contoh diatas, pangkat nol suatu bilangan ditentukan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan real a, dengan a tidak sama dengan nol, berlaku berikut ini a0 = 1.

2. Pangkat Bulat Negatif

Perhatikan pangkat bilangan, dengan pangkat makin menurun berikut.

10^3 -> 1.000

10^2 -> 100

10^1 -> 10

10^0 -> …

10^-1 -> …

10^-2 -> …

10^-3 -> …

Berdasarkan pola tersebut, apa jawaban yang tepat untuk dan pangkat bilangan bulat negatif? Karena polanya adalah suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dibagi maka akan dihasilkan 10^0 = 1, 10^-1 = 1/10, 10^-2 = 1/100, 10^-3 = 1/1000, dan seterusnya. Jika ditulis dalam bentuk pangkat, 10^-1 = 1/10^1, 10^-2 = 1/10^2, 10^-3 = 1/10^3, dan seterusnya.

Dari uraian tersebut, pangkat negatif suatu bilangan ditentukan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan real a, dengan a tidak sama dengan nol, berikut ini a^-n = 1/a^n

Kalian tahu, bilangan dengan pangkat bulat negatif tidak dapat diartikan sebagai perkalian berulang dari bilangan pokok yang dipangkatkan. Oleh karena itu, bilangan berpangkat bulat negatif disebut juga bilangan berpangkat tak sebenarnya.

Contoh Soal!

Nyatakan bentuk-bentuk dibawah ini dalam pangkat bulat positif.

a. 2m^-3

b. 1/2p^-5

Penyelesaian :

a. 2m^-3 = 2 x m^3 = 2/m^3.

b. 1/2p^-5 = 1/2 x 1/p^-5 = 1/2 x p^5 = p^5/2.